При каких значениях х и у выражение (х-2 у+1) ² + (х+2 у-3) ²+5 имеет наименьшее значение

Возведем трехчлены в квадрат: f (x, y) = (х - 2 у + 1) ^2 + (х + 2 у - 3) ^2 + 5; f (x, y) = x^2 + 4y^2 + 1 - 4xy + 2x - 4y + x^2 + 4y^2 + 9 + 4xy - 6x - 12y + 5; f (x, y) = 2x^2 + 8y^2 + 15 - 4x - 16y. Теперь выделим квадраты двучленов: f (x, y) = 2x^2 - 4x + 8y^2 - 16y + 15; f (x, y) = 2 (x^2 - 2x + 1) - 2 + 8 (y^2 - 2y + 1) - 8 + 15; f (x, y) = 2 (x - 1) ^2 + 8 (y - 1) ^2 + 5. Сумма квадратов неотрицательна и равна нулю при условии: {x - 1 = 0;

{y - 1 = 0; {x = 1;

{y = 1.

Наименьшее значение функции будет в точке (1; 1):

min (f) = f (1, 1) = 5.

Ответ: (1, 1).