Существует ли такое натуральное число, что сумма его цифр делится на 13, и сумма цифр числа, на единицу большего, тоже делится на 13.

1. Пусть функция N (n) выражает сумму цифр натурального числа n.

2. Если число n не оканчивается на цифру 9, то при прибавлении единицы к этому числу не будет перехода через разряд, следовательно, для таких чисел:

N (n + 1) = N (n) + 1.

3. Если же последние k цифры числа n - девятки, то при прибавлении единицы к этому числу получим:

N (n + 1) = N (n) - 9k + 1;

N (n) - N (n + 1) = 9k - 1. (1)

4. По условию задачи:

N (n) = 13p, p ∈ N;

N (n + 1) = 13q, q ∈ N.

Отсюда получим:

N (n) - N (n + 1) = 13 (p - q); (2)

5. Из уравнений (1) и (2) следует:

13 (p - q) = 9k - 1; (3)

9k - 1 делится на 13, а наименьшее значение k - число 3:

9 * 3 - 1 = 26.

6. Наименьшее число, удовлетворяющее условию задачи:

n = 48999; N (n) = 4 + 8 + 3 * 9 = 39; n + 1 = 49000; N (n + 1) = 4 + 9 = 13.

Ответ. Наименьшее подобное число: 48999.