Y=x^3-12x^2+3x Исследовать функцию и построить график (периодичность, точки перегиба, критич. точки, точки пересечения, четность, интервалы монотонности, выпуклости)

Question

Савелий Хомяков

Математика

22 апреля, 03:02

Y=x^3-12x^2+3x Исследовать функцию и построить график (периодичность, точки перегиба, критич. точки, точки пересечения, четность, интервалы монотонности, выпуклости)

+5

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Шура · Answer 1

1) Область определения и область значений.

D (f) = R, х любое число.

E (f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

y = x³ - 12x² + 3x

x³ - 12x² + 3x = 0;

х (х² - 12 х + 3) = 0.

х = 0.

Или х² - 12 х + 3 = 0.

D = 144 - 12 = 132 (√D = √132 = 2√33) /

x₁ = (12 - 2√33) / 2 = 6 - √33 (~ 0,3).

x₂ = 6 + √33 (~ 11,7).

График функции пересекает ось х в точках 0, 6 - √33 и 6 + √33.

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0.

у = x³ - 12x² + 3x = 0³ - 12 * 0² + 3 * 0 = 0.

График пересекает ось у в точке 0.

3) Определим четность функции.

f (x) = x³ - 12x² + 3x.

f ( - x) = (-x) ³ - 12 * (-x) ² + 3 * (-x) = - x³ - 12x² - 3x = - (x³ + 12x² + 3x).

f (x) не равно f (-x) и f (x) не равно - f (-x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точках 0, 6 - √33 и 6 + √33.

(-∞; 0) пусть х = - 1; у = (-1) ³ - 12 * (-1) ² + 3 * (-1) = - 1 - 12 - 3 = - 16 (-).

(0; 6 - √33) пусть х = 0,1; у = (0,1) ³ - 12 * (0,1) ² + 3 * (0,1) = 0,001 - 0,12 + 0,3 = 0,1801 (+).

(6 - √33; 6 + √33) пусть х = 1; у = 1³ - 12 * 1² + 3 * 1 = 1 - 12 + 3 = - 8 (-).

(6 + √33; + ∞) пусть х = 12; у = 12³ - 12 * 12² + 3 * 12 = 36 (+).

у > 0 на промежутках (0; 6 - √33) и (6 + √33; + ∞).

у < 0 на промежутках (-∞; 0) и (6 - √33; 6 + √33).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f (x) = x³ - 12x² + 3x.

f' (x) = 3 х² - 24 х + 3.

Приравняем производную к нулю.

f' (x) = 0;

3 х² - 24 х + 3 = 0 (кв. парабола, ветви вверх);

D = 576 - 36 = 540 (√D = √540 = 6√15).

x₁ = (24 - 6√15) / 6 = 4 - √15 (~ 0,2).

x₂ = 4 + √15 (~ 7,8).

Определяем знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; 4 - √15) производная (+), функция возрастает.

(4 - √15; 4 + √15) производная (-), функция убывает.

(4 + √15; + ∞) производная (+), функция возрастает.

Значит, точка (4 + √15) - это точка минимума, а (4 - √15) - это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

у = x³ - 12x² + 3x.

х_min = 4 + √15; у_min = (4 + √15) ³ - 12 * (4 + √15) ² + 3 * (4 + √15) = - 116 - 30√15.

х_max = (4 - √15); у_max = (4 - √15) ³ - 12 * (4 - √15) ² + 3 * (4 - √15) = - 116 + 30√15.