Разложите на множители выражение. X^3+5X^2+3X-9

Корнями кубического многочлена чаще являются делители свободного члена (числа без х).

х³ + 5 х² + 3 х - 9 = (х - х₁) (х - х₂) (х - х₃).

Свободный член здесь (-9), его делители: 1, - 1, 3, - 3, 9 и - 9.

Пробуем 1: поделим весь многочлен на (х - 1) в столбик, как обычные числа:

(х³ + 5 х² + 3 х - 9) : (х - 1) = х² + 6 х - 9.

Значит, х³ + 5 х² + 3 х - 9 = (х - 1) (х² + 6 х - 9).

Разложим вторую скобку на множители х² + 6 х - 9 = (х - х₂) (х - х₃).

D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * 9 = 36 + 36 = 72 (√D = 6√2);

x₂ = (-6 - 6√2) / 2 = - 3 - 3√2;

x₃ = (-6 + 6√2) / 2 = - 3 + 3√2.

Значит, х² + 6 х - 9 = (х - (-3 - 3√2)) (х - (-3 + 3√2)).

Следовательно, х³ + 5 х² + 3 х - 9 = (х - 1) (х - (-3 - 3√2)) (х - (-3 + 3√2)) = 0.

Отсюда корни многочлена:

х - 1 = 0; х = 1.

х - (-3 - 3√2) = 0; х = - 3 - 3√2.

х - (-3 + 3√2) = 0; х = - 3 + 3√2.