чётно или нечётно число 1+2+3+4 + ... + 1990? Почему?

Обозначим данную сумму через S. Тогда можем записать:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 1988 + 1989 + 1990.

Запишем члены последовательности данной суммы в обратном порядке:

S = 1990 + 1989 + 1988 + ... + 3 + 2 + 1.

Сложим два полученных уравнения и проведем группировку слагаемых:

2 * S = (1 + 1990) + (2 + 1989) + (3 + 1988) + ... (1988 + 3) + (1989 + 2) + (1990 + 1) =

= 1991 + 1991 + 1991 + ... + 1991 + 1991 + 1991 = 1991 * 1990,

S = 1991 * 1990 / 2 = 1991 * 995.

Очевидно, что S не делится на 2. Следовательно, S - нечетное число.