Решите неравенство х^2-6 х-16/-х^2+8 х-12"0

Решим неравенство (х^2 - 6 х - 16) / ( - х^2 + 8 х - 12) ≥ 0 методом интервалов. Приравняем и числитель, и знаменатель к нулю. Помним, что знаменатель не должен равняться нулю (на 0 делить нельзя), поэтому его точки будут отмечены пустыми кружками на числовой прямой.

1) х^2 - 6 х - 16 = 0 - найдем корни по теореме Виета;

x1 = - 2; x2 = 8.

2) - х^2 + 8 х - 12 = 0;

х^2 - 8 х + 12 = 0;

по теореме Виета x1 = 2; x2 = 6.

Изобразим числовую прямую и отметим на ней наши точки - 2, 8 - закрашенными кружками, 2 и 6 - не закрашенными. Отмечаем по-порядку слева направо по порядку - 2, 2, 6, 8. Эти числа разделят числовую прямую на 5 промежутков: 1) ( - ∞; - 2], 2) [ - 2; 2), 3) (2; 6], 4) [6; 8), 5) (8; + ∞).

Проверим знак выражения в каждом интервале. Проще подставлять и считать знак, если квадратные трехчлены в числителе и знаменателе разложить на множители ((x - 8) (x + 2)) / ((x - 2) (x - 6)).

Выражение будет положительно на 1,3, 5 интервале и отрицательно на 2 и 4. Знак неравенства ≥ 0, значит в ответ записываем промежутки, на которых выражение положительно.

Ответ. ( - ∞; - 2] и (2; 6] и (8; + ∞).