Решите уравнение методом введения новой переменной: а) 4x^{4}-17x^{2}+4=0 б) (x^{2}-2x) ^{2} + (x^{2}-2x) = 12

а) Вводим новую переменную, пусть х² = a, тогда х⁴ = а².

4x⁴ - 17x² + 4 = 0.

Получаем уравнение 4 а² - 17 а + 4 = 0.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-17) ² - 4 * 4 * 4 = 289 - 64 = 225 (√D = 15);

a₁ = (17 - 15) / (2 * 4) = 2/8 = 1/4 = 0,25.

a₂ = (17 + 15) / 8 = 32/8 = 4.

Возвращаемся к замене х² = a.

Если а = 0,25, то х² = 0,25; х = ±0,5.

Если а = 4, то х² = 4; х = ±2.

Ответ: корни уравнения - 0,5; 0,5; - 2 и 2.

б) Вводим новую переменную, пусть x² - 2x = с.

(x² - 2x) ² + (x² - 2x) = 12.

Получаем новое уравнение с² + c = 12;

с² + c - 12 = 0.

D = 1² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49 (√D = 7);

c₁ = (-1 - 7) / 2 = - 8/2 = - 4;

c₂ = (-1 + 7) / 2 = 6/2 = 3.

Возвращаемся к замене x² - 2x = с.

Если с = - 4, то x² - 2x = - 4; x² - 2x + 4 = 0.

D = (-2) ² - 4 * 1 * 4 = 4 - 16 = - 12 (D < 0, нет корней).

Если с = 3, то x² - 2x = 3; x² - 2x - 3 = 0.

D = (-2) ² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16 (√D = 4);

x₁ = (2 - 4) / 2 = - 2/2 = - 1.

x₂ = (2 + 4) / 2 = 6/2 = 3.

Ответ: корни уравнения равны - 1 и 3.