При каких "а" неравенство (x+a) (x+6) ≤0 имеет единственное решение?

Данное неравенство может иметь единственное решение, только когда будет иметь вид равенства (х + а) * (х + 6) = 0. Получаем квадратное уравнение

х² + 6 * х + а * х + 6 * а = 0,

х² + (6 + а) * х + 6 * а = 0.

Уравнение будет иметь единственный корень, если дискриминант равен 0.

D = (6 + а) ² - 4 * 6 * а = 0,

36 + 12 * а + а² - 24 * а = 0,

а² - 12 * а + 36 = 0.

Найдём дискриминант: D = 12² - 4 * 36 = 144 - 144 = 0, значит а = 12 / 2 = 6.

Исходное уравнение принимает вид (х + 6) * (х + 6) = 0 или (х + 6) ² = 0.

Единственное решение данного уравнения х = - 6.

Ответ: а = 6.