log 1/2 (3x - 5) = log1/2 (x в квадрате - 3) log 2 (x в квадрате - 3 x) = 2 log 2x + log 2 (x-3) = 2 lg в квадрате x - 2 lgx - 3 = 0

Из равенства основания логарифмов следует:

log _1/2 (3 х - 5) = log _1/2 (x² - 3);

(3 х - 5) = (x² - 3);

- x² + 3 х - 5 + 3 = 0;

x² - 3 х + 2 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 3) ² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (3 - √1) / 2 * 1 = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (3 + √1) / 2 * 1 = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2;

Выполним проверку:

{3 х - 5> 0;

{ x² - 3> 0;

если х1 = 1, то:

3 * 1 - 5> 0;

- 2 > 0, неравенство не выполняется;

если х2 = 2, то:

3 * 2 - 5 > 0;

1 > 0, неравенство выполняется;

2 * 2 - 3> 0;

1 > 0, неравенство выполняется;

Значит, только один корень х = 2;

Ответ: х = 2.

2)

Внесем число под логарифм, воспользовавшись его свойством:

log ₂ (х² - 3 х) = 2log ₂х + log ₂ (х - 3);

log ₂ (х² - 3 х) = log ₂х² + log ₂ (х - 3);

Основания логарифмов равны, поэтому воспользуемся свойством произведения логарифма:

log ₂ (х² - 3 х) = log ₂х² (х - 3);

Из равенства основания логарифмов следует:

х² - 3 х = х² (х - 3);

х² - 3 х - х² (х - 3) = 0;

х (х - 3 - х² + 3 х) = 0;

- х (х² - 4 х + 3) = 0;

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) х1 = 0;

х² - 4 х + 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 4) ² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4;

D › 0, значит:

х2 = (4 - √4) / 2 * 1 = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1;

х3 = (4 + √4) / 2 * 1 = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3;

Выполним проверку:

{ х² - 3 х > 0;

{ х - 3> 0;

{ х > 0;

Если х1 = 0, то:

0 > 0, не выполняется, значит корень посторонний;

Если х2 = 1, то:

х² - 3 х > 0;

1² - 3 * 1 > 0;

- 2 > 0, не выполняется, значит корень посторонний;

Если х3 = 1, то:

х² - 3 х > 0;

3² - 3 * 3 > 0;

0 > 0, не выполняется, значит корень посторонний;

Ответ: нет корней.

3)

Найдем ОДЗ:

2lg² х - 2lg х - 3 = 0;

х > 0;

Выполним замену:

lg х = а;

2 а² - 2 а - 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = ( - 2) ² - 4 * 2 * ( - 3) = 4 + 24 = 28;

D › 0, значит:

а1 = (2 - √28) / 2 * 2 = (2 - 2√7) / 4 = 1/2 - 1/2√7;

а2 = (5 + √81) / 2 * 2 = (2 + 2√7) / 4 = 1/2 + 1/2√7;

Подставим значения:

Если а1 = 1/2 - 1/2√7, то:

lg х = 1/2 - 1/2√7;

lg х = (1/2 - 1/2√7) * lg 10;

х1 = 10 ⁽1/2 - 1/2√7⁾;

Если а2 = 1/2 + 1/2√7, то:

lg х = (1/2 + 1/2√7) lg 10;

lg х = lg 10 ⁽1/2 + 1/2√7⁾;

х2 = 10 ⁽1/2 + 1/2√7⁾;

Ответ: х1 = 10 ⁽1/2 - 1/2√7⁾, х2 = 10 ⁽1/2 + 1/2√7⁾;

.