решите уравнение (x^2-5x-7) ^2 - (x+2) (x-7) = 27

Раскроем скобки:

(х² - 5 х - 7) ² - (х + 2) (х - 7) = 27;

(х² - 5 х - 7) ² - (х² - 5 х - 14) - 27 = 0;

(х² - 5 х - 7) ² - (х² - 5 х - 7 - 7) - 27 = 0;

Выполним замену и преобразуем в квадратное уравнение:

х² - 5 х - 7 = у;

y² - (y - 7) - 27 = 0;

y² - y + 7 - 27 = 0;

y² - y - 20 = 0;

Найдем y решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 1) ² - 4 * 1 * ( - 20) = 1 + 80 = 81;

D › 0, значит:

y1 = ( - b - √D) / 2a = (1 - √81) / 2 * 1 = (1 - 9) / 2 = - 8 / 2 = - 4;

y2 = ( - b + √D) / 2a = (1 + √81) / 2 * 1 = (1 + 9) / 2 = 10 / 2 = 5;

Подставим корни уравнения:

х² - 5 х - 7 = у;

1) Если у = - 4, то:

х² - 5 х - 7 = - 4;

х² - 5 х - 7 + 4 = 0;

х² - 5 х - 3 = 0;

D = b² - 4ac = ( - 5) ² - 4 * 1 * ( - 3) = 25 + 12 = 37;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (5 - √37) / 2;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (5 + √37) / 2;

2) Если у = 5, то:

х² - 5 х - 7 = 5;

х² - 5 х - 7 - 5 = 0;

х² - 5 х - 12 = 0;

D = b² - 4ac = ( - 5) ² - 4 * 1 * ( - 12) = 25 + 48 = 73;

D › 0, значит:

х3 = ( - b - √D) / 2a = (5 - √73) / 2;

х4 = ( - b + √D) / 2a = (5 + √73) / 2;

Ответ: х1 = (5 - √37) / 2, х2 = (5 + √37) / 2, х3 = (5 - √73) / 2, х4 = (5 - √73) / 2.