Найдите корень уравнения arccos4x+arccos2x=пи/3

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов.

Область допустимых значений (ОДЗ) : - 1 ≤ 4x ≤ 1 и - 1 ≤ 2x ≤ 1.

arccos 4x + arccos 2x = пи/3 равносильно выражению arccos 4x = пи/3 - arccos 2x.

Тогда:

cos (arccos 4x) = cos (пи/3 - arccos 2x).

Отсюда:

4x = cos (пи/3) * cos (arccos 2x) - sin (пи/3) * sin (arccos 2x) =

= 1/2 * 2x + (√3 / 2) * √ (1 - (2x) ²) = x + (√3 / 2) * √ (1 - 4x²).

Следовательно, 3x = (√3 / 2) * √ (1 - 4x²).

То есть при x ≥ 0: (3x) ² = (√3 / 2) ² * (1 - 4x²).

9x² = 3/4 - 3x².

12x² = 3/4.

x² = 1/16.

x = ±√ (1/16) = ±1/4. Удовлетворяет условию x ≥ 0 только x = 1/4. Это же значение удовлетворяет обоим неравенствам ОДЗ.

Ответ: x = 1/4.