При каких значениях m уравнение имеет единственный корень: 1999^2x-4*1999^x-3m+m^2=0

1. Обозначим:

3m + m^2 = p;

1999^x = y. (1)

Уравнение (1) имеет одно решение при y > 0, и не имеет решения при y ≤ 0.

2. Получим уравнение:

1999^ (2x) - 4 * 1999^x - 3m + m^2 = 0; (2)

y^2 - 4y - p = 0. (3)

D/4 = 2^2 + p = p + 4;

y = 2 ± √ (p + 4).

3. Меньший корень уравнения (3) не должен быть положительным:

{p + 4 ≥ 0;

{2 - √ (p + 4) ≤ 0; {p + 4 ≥ 0;

{√ (p + 4) ≥ 2; {p + 4 ≥ 0;

{p + 4 ≥ 4;

p + 4 ≥ 4;

p ≥ 0.

3m - m^2 ≥ 0;

m (3 - m) ≥ 0;

m ∈ [0; 3].

Ответ. Уравнение (2) имеет единственный корень при значениях параметра m ∈ [0; 3].