3sin^2x-sin2x-cos^2x=2

1. Перенесем все значения в левую часть:

3sin²x - sin2x - cos²x = 2;

3sin²x - sin2x - cos²x - 2 = 0;

2. Применим формулу основного тождества тригонометрической функций:

1 = sin²x + cos²x;

3sin²x - sin2x - cos²x - 2 (sin²x + cos²x) = 0;

3sin²x - sin2x - cos²x - 2sin²x - 2cos²x = 0;

sin²x - sin2x - 3cos²x = 0;

3. Применим формулу двойного аргумента тригонометрической функций:

sin2x = 2sinxcosx;

sin²x - 2sinxcosx - 3cos²x = 0;

4. Разделим равенство на cos²x ≠ 0;

sin²x/cos²x - 2sinxcosx/cos²x - 3cos²x/cos²x = 0;

tg²x - 2tgx - 3 = 0;

5. Выполним замену tgx = у:

y² - 2y - 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 2) ² - 4 * 1 * ( - 3) = 4 + 12 = 16;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (2 - √16) / 2 * 1 = (2 - 4) / 2 = - 2 / 2 = - 1;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (2 + √16) / 2 * 1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3;

6. Тогда, если у1 = - 1, то:

tgx = - 1;

х = arctg ( - 1) + πn, n ∈ Z;

х = - arctg (1) + πn, n ∈ Z;

x1 = - π/4 + πn, n ∈ Z;

если у2 = 3, то:

tgx = 3;

х2 = arctg (3) + πn, n ∈ Z;

Ответ: x1 = - π/4 + πn, х2 = arctg (3) + πn, n ∈ Z.