Корень x + корень x - 5 = корень 10 - x

Решим иррациональное уравнение:

√х + √ (х - 5) = √ (10 - х).

1) Возведем уравнение в квадрат и выполним преобразования:

х + 2√ (х * (х - 5)) + х - 5 = 10 - х;

2 х - 5 + 2√ (х^2 - 5 х) = 10 - х;

2√ (х^2 - 5 х) = 10 - х - 2 х + 5;

2√ (х^2 - 5 х) = 15 - 3 х.

2) Полученное уравнение еще раз возводим в квадрат:

4 * (х^2 - 5 х) = 225 - 90 х + 9 х^2;

4 х^2 - 20x = 225 - 90 х + 9 х^2;

9 х^2 - 4 х^2 - 90x + 20x + 225 = 0;

5 х^2 - 70x + 225 = 0;

х^2 - 14x + 45 = 0.

3) Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

х₁ + х₂ = 14;

х₁ * х₂ = 45;

х₁ = 9, х₂ = 5.

4) Проверка:

при х₁ = 9

√9 + √ (9 - 5) = √ (10 - 9);

3 + 2 = 1;

5 = 1, получено неверное равенство, значит, х = 9 - посторонний корень заданного уравнения;

при х₂ = 5

√5 + √ (5 - 5) = √ (10 - 5);

√5 + √0 = √5;

√5 = √5, получено верное равенство, поэтому х = 5 является корнем заданного уравнения.

Ответ: х = 5.