Действительные числа а, в, с таковы что а+в+с>0, ав+ас+вс>0, авс>0 Доказать, что а, в, с - положительные

а + в + с > 0, а * в + а * с + в * с > 0, а * в * с > 0 - данные неравенства.

Возьмём первое неравенство. Так как а * в * с > 0, то данному неравенству соответствуют два случая:

1) все три числа a, b, c - положительные;

2) два из них - отрицательные, а одно - положительное. Какое из них положительное для ответа на вопрос задачи неважно. Поэтому пусть a, b - отрицательные, с - положительное.

Рассмотрим каждый случай в отдельности и проверим, соответствуют ли они первым двум неравенствам:

1) Первое неравенство а + в + с > 0 справедливо, когда все три числа положительны. Потому как сумма положительных чисел - положительное число.

Второе неравенство а * в + а * с + в * с > 0 справедливо, когда все три числа положительны. Так как произведение положительных чисел - положительное число, а сумма положительных чисел - положительное число.

Следовательно, случай, когда все три числа a, b, c - положительные, справедлив для всех трёх неравенств.

2) Рассмотрим первое неравенство а + в + с > 0. Так как а, b - отрицательные числа, c - положительное, то a + b - отрицательное число. Чтобы число (a + b) + c было положительным, то есть больше 0, нужно чтобы выполнялось неравенство: с > | a + b |.

Рассмотрим второе неравенство а * в + а * с + в * с > 0.

Преобразуем его: а * в + с * (a + b) > 0. Так как а, b - отрицательные числа, то (a * b) - положительное число, (a + b) - отрицательное число. Так как с - положительное число, тогда с * (a + b) - отрицательное число. Так как при рассмотрении первого неравенства было выяснено, что с > | a + b |, то (а * в) < | с * (a + b) |. Так как сумма положительного числа (a * b) и отрицательного числа с * (a + b) - отрицательное число, то оно меньше 0. Следовательно, неравенство не выполняется.

Значит для выполнения всех трёх неравенств необходимо, чтобы все три числа a, b, c были положительными.