Найдите наименьшее значение функции у=|x|+|x-2|

Рассмотрим три промежутка и исследуем функцию на каждом из них:

у = |x| + |x - 2|;

a) x ∈ (-∞; 0];

у = - x - (x - 2); у = - x - x + 2 = - 2x + 2.

Функция убывает и наименьшее значение принимает в точке x = 0:

ymin = y (0) = - 2 * 0 + 2 = 2.

b) x ∈ [0; 2];

у = x - (x - 2); у = x - x + 2 = 2.

Функция постоянна и равна 2.

с) x ∈ [2; ∞);

у = x + (x - 2); у = x + x - 2 = 2x - 2.

Функция возрастает и наименьшее значение принимает в точке x = 2:

ymin = y (2) = 2 * 2 - 2 = 2.

Во всех трех промежутках, значит, и на множестве действительных чисел, наименьшее значение функции равно 2.

Ответ: 2.