Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 10.5, а произведение их квадратов равно 729. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.

По условию:

b1 + b2 + b3 = 10,5. (1)

b1² * b2² * b3² = 729.

(b1 * b2 * b3) ² = 27².

b1 * b2 * b3 = 27. (2)

Выразим b2 и b3 через b1.

b2 = b1 * q.

b3 = b1 * q².

Подставим их в равенство (2).

b1 * b1 * q * b1 * q² = 27.

(b1 * q) ³ = 3³.

b1 * q = 3. Это является вторым членом прогрессии.

Подставим в равенство (2).

b1 + 3 + 3 * q = 10,5.

3 / q + 3 * q = 7,5.

3 + 3 * q² = 7,5 * q.

3 * q² - 7,5 * q + 3 = 0.

q² - 2,5 * q + 1 = 0.

D = b² - 4 * a * c = (-2,5) ² - 4 * 1 * 1 = 6,25 - 4 = 2,25.

q₁ = (2,5 - √2,25) / 2 * 1 = (2,5 - 1,5) / 2 = 1 / 2 = 0,5. (Не подходит, так как прогрессия возрастающая).

q₁ = (2,5 + √2,25) / 2 * 1 = (2,5 + 1,5) / 2 = 4 / 2 = 2.

b₁ = b₂ / q = 3 / 2 = 1,5.

S₇ = (b₁ * (1 - qⁿ)) / (1 - q) = (1,5 * (1 - 2⁷)) / (1 - 2) = 1,5 * (-127) / (-1) = 190,5.

Ответ: S₇ = 190,5.