Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, а их произведение равно 27. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии bn = b1*q^ (n-1), где b1 - первый член геометрической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии.

Согласно условию задачи, произведение первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равно 27, следовательно, справедливо следующее соотношение:

b1*b2*b3 = b1*b1*q*b1*q^2 = b1^3*q^3 = (b1*q) ^3 = 27.

Из полученного соотношения получаем:

b1*q = 3,

или

b1 = 3/q.

Также известно, что сумма первых трех членов данной геометрической прогрессии равна 13, следовательно, справедливо следующее соотношение:

b1 + b2 + b3 = b1 + b1*q + b1*q^2 = b1 * (1 + q + q^2) = 13.

Подставляя в соотношение b1 * (1 + q + q^2) = 13 значение b1 = 3/q, получаем:

3 * (1 + q + q^2) / q = 13.

Решаем полученное уравнение:

3 * (1 + q + q^2) = 13*q;

3 + 3*q + 3*q^2 = 13*q;

3*q^2 + 3*q - 13*q + 3 = 0;

3*q^2 - 10*q + 3 = 0;

q = (5 ± √ (25 - 9)) / 3 = (5 ± √16) / 3 = (5 ± 4) / 3;

q1 = (5 + 4) / 3 = 9/3 = 3;

q2 = (5 - 4) / 3 = 1/3.

По условию задачи, геометрическая прогрессия является возрастающей, следовательно, значение q = 1/3 не подходит.

Зная q, находим b1:

b1 = 3/q = 3/3 = 1.

Зная q и b1, находим сумму первых пяти членов этой прогрессии S5, используя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q) при n = 5:

S5 = b1 * (1 - q^5) / (1 - q) = 1 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = (1 - 3^5) / (1 - 3) = (1 - 243) / (1 - 3) = - 242 / (-2) = 121.

Ответ: сумма первых пяти членов этой прогрессии равна 121.