Вычислить предел lim x->0 (e^3x-3x-1) / sin^2 (5x)

Поскольку при lim x->0 (e^3x - 3x - 1) = e^3*0 - 3 * 0 - 1 = 1 - 1 = 0 и lim x->0 (sin^2 (5x)) = sin^2 (5 * 0) = 0, для вычисления искомого предела воспользуемся правилом Лопиталя.

Находим производные функций h (x) = e^3x - 3x - 1 и g (x) = sin^2 (5x):

h' (x) = (e^3x - 3x - 1) ' = 3e^3x - 3;

g' (x) = (sin^2 (5x)) ' = 2 * sin (5x) * 5 * cos (5x) = 5 * sin (10x).

Поскольку при lim x->0 (3e^3x - 3) = 3e^3*0 - 3 = 0 и lim x->0 (5sin (10x)) = 5sin (10 * 0)) = 0, для вычисления искомого предела снова воспользуемся правилом Лопиталя:

h'' (x) = (3e^3x - 3) ' = 9e^3x;

g'' (x) = (5sin (10x)) = - 50cos (10x).

Поскольку при lim x->0 (9e^3x) = 9 * e^ (3*0) = 9 * 1 = 9 и lim x->0 (-50cos (10x)) = - 50 * cos (10 * 0) = - 50 * 1 = - 50, то искомый предел равен 9 / (-50) = - 0.18.

Ответ: - 0.18.