Найти значения производной функции при заданных аргументах a) f (x) = x / (1+x^2), x0=0b) f (x) = (4x-7) / (x^2+4), x0=0

Формула вычисления производной дроби:

(f/g) ' = (f' * g - f * g') / g².

a) f (x) = x / (1 + x²).

Найдем производную данной функции, пользуясь формулой производной дроби:

f (x) = x / (1 + x²).

f' (x) = (x' * (1 + x²) - x * (1 + x²) ') / (1 + x²) ² = (1 + x² - x - x³) / (1 + x²) ² = - (x³ - x² + x - 1) / (1 + x²) ² = - (x² (x - 1) + (x - 1)) / (1 + x²) ² = - (x² + 1) (x - 1) / (1 + x²) ² = (1 - х) / (1 + x²).

Найдем значение производной в точке x₀ = 0:

f' (x) = (1 - х) / (1 + x²).

f' (0) = (1 - 0) / (1 + 0²) = 1/1 = 1.

b) f (x) = (4x - 7) / (x² + 4). Выполняем задание по аналогии с первым.

f' (x) = ((4x - 7) ' * (x² + 4) - (4x - 7) * (x² + 4) ') / (x² + 4) ² = (4 (x² + 4) - 2x (4x - 7)) / (x² + 4) ² = (4x² + 16 - 8x² + 14x) / (x² + 4) ² = (-4x² + 14x + 16) / (x² + 4) ² = - (4x² - 14x - 16) / (x² + 4) ².

Найдем значение производной в точке x₀ = 0.

f' (x) = - (4x² - 14x - 16) / (x² + 4) ².

f' (0) = - (4 * 0² - 14 * 0 - 16) / (0² + 4) ² = 16/16 = 1.