Решить иррациональное неравенство √2x-x^2+1≥2x-3

√ (2x - x^2 + 1) ≥ 2x - 3.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня.

(√ (2x - x^2 + 1)) ^2 ≥ (2x - 3) ^2.

2x - x^2 + 1 ≥ 4x^2 - 12 х + 9.

Перенесем все в левую часть:

2x - x^2 + 1 - 4x^2 + 12 х - 9 ≥ 0.

Подведем подобные члены:

-5x^2 + 14 х - 8 ≥ 0.

Умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

5x^2 - 14 х + 8 < = 0.

Рассмотрим функцию у = 5x^2 - 14 х + 8, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 5x^2 - 14 х + 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 5; b = - 14; c = 8;

D = b^2 - 4ac; D = (-14) ^2 - 4 * 5 * 8 = 196 - 160 = 36 (√D = 6);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (14 - 6) / (2 * 5) = 8/10 = 0,8.

х₂ = (14 + 6) / 10 = 20/10 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки 0,8 и 02, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < = 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть [0,8; 2].

Ответ: х принадлежит промежутку [0,8; 2].