Решите иррациональное неравенство: x²-8x-2√ (x²-8x) ≤3

x^2 - 8x - 2√ (x^2 - 8x) ≤ 3.

Произведем замену, пусть √ (x^2 - 8x) = а.

Тогда неравенство будет иметь вид а^2 - 2 а ≤ 3; а^2 - 2 а - 3 ≤ 0.

Рассмотрим функцию у = а^2 - 2 а - 3, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; а^2 - 2 а - 3 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 2; c = - 3;

D = b^2 - 4ac; D = (-2) ^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16 (√D = 4).

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (2 - 4) / 2 = - 1;

а₂ = (2 + 4) / 2 = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки - 1 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≤ 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть [-1; 3].

То есть (1) a > = - 1 и (2) a < = 3.

Возвращаемся к замене √ (x^2 - 8x) = а.

1) a > = - 1.

√ (x^2 - 8x) > = - 1.

Возведем неравенство в квадрат:

x^2 - 8x > 1; x^2 - 8x - 1 > = 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 8x - 1, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 8x - 1 = 0.

D = 64 + 4 = 68 (√D = √68 = √ (4 * 17) = 2√17).

х₁ = (8 - 2√17) / 2 = 4 - √17;

х₂ = 4 + √17.

Отмечаем на числовой прямой точки (4 - √17) и (4 + √17), схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > = 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится выше прямой, то есть ( - ∞; 4 - √17] и [4 + √17; + ∞).

2) a < = 3.

√ (x^2 - 8x) < = 3.

Возведем неравенство в квадрат:

x^2 - 8x < = 9; x^2 - 8x - 9 < = 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 8x - 9, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 8x - 9 = 0.

D = 64 + 36 = 100 (√D = 10);

х₁ = (8 - 10) / 2 = - 1;

х₂ = (8 + 10) / 2 = 9.

Отмечаем на числовой прямой точки - 1 и 9, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < = 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть [-1; 9].

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; 4 - √17], [4 + √17; + ∞) и [-1; 9]