Разложите на множители: 1) (a-2b) ³+8b³ 2) 27 - (x-2) ³ 3) (m+1) ³+64

Решение:

Для разложения данных выражений на множители воспользуемся:

1 шаг. Формулами разность кубов а³ - b³ = (a - b) (а² +ab + b²) или сумма кубов а³ + b³ = (a + b) (а² - ab + b²).

2 шаг. Формулами квадрат разности (а - b) ² = (а² - 2ab + b²) или квадрат суммы (а + b) ² = (а² + 2ab + b²).

3 шаг. В первом выражении - формулой разность квадратов а² - b² = (a - b) (а + b), во втором и третьем - поиском корней квадратного уравнения через дискриминант.

1). (a - 2b) ³ + 8b³ = (a - 2b) ³ + (2b) ³ = (a - 2b + 2b) ((a - 2b) ² - 2b (a - 2b) + 4b²) = a (a² - 4 аb + 4b² - 4 аb + 4b² + 4b²) = a (a² - 8 аb + 12b²) = a ((a² - 2 ∙ 4 аb + 16b²) - 16b² + 12b²) = a ((a - 4b) ² - 4b²) = a (a - 4b - 2b) (a - 4b + 2b) = a (a - 6b) (a - 2b).

2). 27 - (x - 2) ³ = 3³ - (x - 2) ³ = (3 - (x - 2)) (9 + 3 (х - 2) + (x - 2) ²) = (3 - x + 2) (9 + 3 х - 6 + x² - 4 х + 4) = (5 - x) (x² - х + 7).

Дискриминант уравнения x² - х + 7 = 0 D = - 27 < 0, т. е. корней нет, дальнейшего разложения быть не может.

3). (m + 1) ³ + 64 = (m + 1) ³ + 4³ = (m + 1 + 4) ((m + 1) ² - 4 (m + 1) + 16) = (m + 5) (m² + 2m + 1 - 4m - 4 + 16) = (m + 5) (m² - 2m + 13).

В уравнении m² - 2m + 13 = 0:

D = - 48 < 0, корней нет, поэтому разложение на множители окончательное.

Ответ: 1). (a - 2b) ³ + 8b³ = a (a - 6b) (a - 2b); 2). 27 - (x - 2) ³ = (5 - x) (x² - х + 7); 3). (m + 1) ³ + 64 = (m + 5) (m² - 2m + 13).