Укажите число корней уравнения на промежутке [0; π}tg 2x sin 4x + cos 4x - cos 8x = 0.

1. Область допустимых значений:

cos2x ≠ 0; 2x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z; x ≠ π/4 + πk/2, k ∈ Z.

2. Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулами для двойного угла функций синус и косинус:

sin (2α) = 2sinα * cosα; cos (2α) = 1 - 2sin^2 (α); tg2x * sin4x + cos4x - cos8x = 0; sin2x/cos2x * 2sin2x * cos2x + cos4x - cos8x = 0; 2sin^2 (2x) + cos4x - cos8x = 0; 1 - cos4x + cos4x - cos8x = 0; 1 - cos8x = 0; cos8x = 1; 8x = 2πk, k ∈ Z; x = πk/4, k ∈ Z.

C учетом области допустимых значений получим:

x = πk/2, k ∈ Z.

3. Полуинтервалу [0; π) принадлежат два корня уравнения:

0 и π/2.

Ответ: два корня.