Определите все a, при каждом из которых уравнение 5sin x + 12cos x = a - 2 имеет хотя бы одно решение.

Рассмотрим уравнение:

5 * sin (x) + 12 * cos (x) = a - 2,

(5 / 13) * sin (x) + (12 / 13) * cos (x) = (a - 2) / 13.

Заметим, что (5 / 13) ^2 + (12 / 13) ^2 = 1.

Значит, существует такой угол С, что

cos (C) = 5 / 13 и sin (C) = 12 / 13. Тогда:

cos (C) * sin (x) + sin (C) * cos (x) = sin (x + C) = (a - 2) / 13.

А уравнение sin (x + C) = (a - 2) / 13 имеет решение, если:

-1 < = (a - 2) / 13 < = 1, - 13 < = a - 2 < = 13,

-11 < = a < = 15.

Ответ: пр - 11 < = a < = 15 уравнение имеет решение.