Докажите справедливость неравенства (x^3+y^3) ^2 - (x^2+y^2) ^3+3x^2y^2 (x+y) ^2=8x^3y^3

Требуется доказать тождество:

(x³ + y³) ² - (x² + y²) ³ + 3x²y² (x + y) ² = 8x³y³.

Формулы для возведения двучлена в квадрат и в куб

Чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать левую часть тождества и получить правую, или преобразовать правую часть и получить левую, или же преобразовать обе части и получить одно и то же выражение. В данном случае целесообразно применить первый способ.

Для доказательства воспользуемся формулами для возведения двучлена в квадрат и в куб:

(a + b) ² = a² + 2ab + b²;

(a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Преобразование левой части тождества

Для удобства преобразований обозначим:

Z = (x³ + y³) ² - (x² + y²) ³ + 3x²y² (x + y) ².

Возведем в соответствующие степени двучлены в этом равенстве:

(x + y) ² = x² + 2xy + y²; (x³ + y³) ² = x⁶ + 2x³y³ + y⁶; (x² + y²) ³ = x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶.

Тогда для Z получим:

Z = (x⁶ + 2x³y³ + y⁶) - (x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶) + 3x²y² (x² + 2xy + y²);

Z = x⁶ + 2x³y³ + y⁶ - x⁶ - 3x⁴y² - 3x²y⁴ - y⁶ + 3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴.

Приведем подобные члены в этом выражении:

Z = 8x³y³, или

(x³ + y³) ² - (x² + y²) ³ + 3x²y² (x + y) ² = 8x³y³.

Что и требовалось доказать.

(x ^ 3 + y ^ 3) ^ 2 - (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 + 3 * x ^ 2 * y ^ 2 * (x + y) ^ 2 = 8 * x ^ 3 * y ^ 3

Раскрываем скобки и переносим всё в левую сторону:

x ^ 6 + 2 * x ^ 3 * y ^3 + y ^ 6 - x ^ 6 - 3 * x ^ 4 * y ^ 2 - 3 * x ^2 * y ^ 4 - y ^ 6 + 3 * x ^ 2 * y ^ 2 * (x ^ 2 + 2 * x * y + y ^ 2) - 8 * x ^ 3 * y ^ 3 = 0

2 * x ^ 3 * y ^3 - 3 * x ^ 4 * y ^ 2 - 3 * x ^2 * y ^ 4 + 3 * x ^ 4 * y ^ 2 + 6 * x ^ 3 * y ^ 3 + 3 * x ^ 2 * y ^ 4 - 8 * x ^ 3 * y ^ 3 = 0

8 * x ^ 3 * y ^ 3 - 8 * x ^ 3 * y ^ 3 = 0

Отсюда 0 = 0