Решитe уравнение 4^cos2x+4^cos^2 x=3

4^ (cos2x) + 4^ (cos^2x) = 3.

Так как cos2x = 1 - 2sin^2x, а cos^2x = 1 - sin^2x, преобразуем выражение:

4^ (1 - 2sin^2x) + 4^ (1 - sin^2x) = 3.

Распишем степени числа 4:

4 * 4^ (-2sin^2x) + 4 * 4^ (-sin^2x) = 3;

4/4^ (2sin^2x) + 4/4^ (sin^2x) = 3.

Произведем замену: пусть 4^ (sin^2x) = а (ОДЗ: а > 0).

Получается уравнение: 4/а^2 + 4/а = 3.

Перенесем 3 в левую часть и приведем все к общему знаменателю:

4/а^2 + 4/а - 3 = 0;

(4 + 4 а - 3 а^2) / а^2 = 0.

Знаменатель не должен равняться нулю, делить на ноль нельзя. По ОДЗ а > 0.

4 + 4 а - 3 а^2 = 0;

-3 а^2 + 4 а + 4 = 0.

Умножим уравнение на (-1):

3 а^2 - 4 а - 4 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 3; b = - 4; c = - 4;

D = b^2 - 4ac; D = (-4) ^2 - 4 * 3 * (-4) = 16 + 48 = 64 (√D = 8);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (4 - 8) / (2 * 3) = - 2/6 = - 1/3 (не подходит по ОДЗ, а > 0).

а₂ = (4 + 8) / 6 = 12/6 = 2.

Возвращаемся к замене sin^2x = а.

4^ (sin^2x) = 2;

4^ (sin^2x) = √4;

4^ (sin^2x) = 4^ (1/2).

Отсюда sin^2 х = 1/2; sinх = √ (1/2) = 1/√2 = √2/2.

х = (-1) ^n * П/4 + Пn, n - целое число.

х = (-1) ^n * 3 П/4 + Пn, n - целое число.