Найти область определения функции у=√ x²-4x-5/x²+3x

1. Квадратный корень определен при неотрицательных значениях подкоренного выражения:

у = √ ((x^2 - 4x - 5) / (x^2 + 3x));

(x^2 - 4x - 5) / (x^2 + 3x) ≥ 0. (1)

2. Найдем корни двучлена и трехчлена:

x^2 + 3x = 0; x (x + 3) = 0; x1 = 0; x2 = - 3; x^2 - 4x - 5 = 0; D/4 = 2^2 + 5 = 4 + 5 = 9; x = 2 ± √9 = 2 ± 3; x3 = 2 - 3 = - 1; x4 = 2 + 3 = 5.

3. Неравенство (1) равносильно неравенству:

(x + 1) (x - 5) / x (x + 3) ≥ 0.

Первые коэффициенты положительны, следовательно:

x ∈ (-∞; - 3) ∪ [-1; 0) ∪ [5; ∞).

Ответ: (-∞; - 3) ∪ [-1; 0) ∪ [5; ∞).