Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:lim x->0 (e^x-cos (x) - x) / (ln (1-x) - x)

Вычислим производную числителя дроби, получим:

(ex - cos x - x) ' = ex + sin x - 1.

Находим производную знаменателя дроби, получим:

(ln (1 - x) - x) ' = - 1 / (1 - x) - 1.

Производная в числителе при х = 0 принимает значение:

e0 + sin 0 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0.

В знаменателе производная при х = 0 становится равной:

-1 / (1 - 0) - 1 = - 1 - 1 = - 2.

Следовательно, отношение стремится к (0 / (-2)) = 0, поэтому предел равен 0.