1) Разложите квадратный трехчлен на множетели 4x^2+7x+3; 2) при каких значениях b уравнение x^2 + bx+4=0 1) имеет два корня, один из которых равен 3; 2) имеет два разных корня

1) Разложим квадратный трехчлен на множители: 4x² + 7x + 3;

Найдем корни уравнения с помощью дискриминанта: D = 49 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1.

x₁ = (-7 + 1) / 8 = - 6/8 = - 3/4; x₂ = (-7 - 1) / 8 = - 8/8 = - 1.

Тогда по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители:

4x² + 7x + 3 = 4 (х + 1) (х + 3/4).

2) Найдем при каких значениях b уравнение x² + bx + 4 = 0;

а) имеет два корня, один из которых равен 3;

предположим, что уравнение x² + bx + 4 = 0 имеет два различных корня, один из которых равен 3, тогда по теореме Виета:

х₁ + х₂ = - b → 3 + х₂ = - b → х₂ = - b - 3; х₁ * х₂ = 4 → 3 * х₂ = 4 → х₂ = 4/3.

Пусть х₁ = 3, тогда - b - 3 = 4/3 → - b = 4/3 + 3 → - b = 4 1/3.

Ответ: при b = - 4 1/3 уравнение имеет два корня, один из которых равен 3.

б) Уравнение будет иметь два различных корня, если D>0,

D = b² - 4 * 1 * 4 = b² - 16 → b² - 16 > 0 → (b - 4) (b + 4) > 0;

то есть, b 4

Ответ: уравнение имеет два различных корня, если b 4.