Найдите наименьшее значение функции y=x2-3x+lnx+5 на отрезке[3/4; 5/4]

1. Найдем критические точки:

y = x^2 - 3x + lnx + 5; y' = 2x - 3 + 1/x; 2x - 3 + 1/x = 0; 2x^2 - 3x + 1 = 0; D = 3^2 - 4 * 2 = 9 - 8 = 1; x = (3 ± √1) / 4 = (3 ± 1) / 4; x = (3 - 1) / 4 = 2/4 = 1/2; x = (3 + 1) / 4 = 4/4 = 1.

2. Функция возрастает на промежутках x ∈ (-∞; 1/2] ∪ [1; ∞) и убывает на промежутке [1/2; 1]. Таким образом, на [1/2; 1] убывает, а на [1; ∞) возрастает, поэтому на промежутке [1/2; ∞) (следовательно, и на отрезке [3/4; 5/4]) наименьшее значение будет в точке x = 1:

y = x^2 - 3x + lnx + 5; y (1) = 1^2 - 3 * 1 + ln1 + 5 = 1 - 3 + 0 + 5 = 3.

Ответ. Наименьшее значение функции на отрезке [3/4; 5/4]: 3.