По кругу стоят 2048 шкатулок. В каждой шкатулке либо лежит монетка, либо не лежит. На каждой шкатулке имеется надпись: <>. Известно, что все надписи не соответствуют действительности. В скольких шкатулках лежит монетка?

Существование условного утверждения

Надписи на шкатулках представляют собой утверждение с условием:

"Если здесь лежит монетка, то ... ".

Это означает, что если в данной шкатулке нет монетки, то и утверждения вовсе нет. А чего нет, то и не может не соответствовать действительности. Т. е., если нет утверждения, то как может оно оказаться ложным? А поскольку известно, что все надписи не соответствуют действительности, то хотя бы должно существовать утверждение, а там посмотрим - истинное оно или же ложное?

Таким образом, из ложности утверждения следует, по крайней мере, его существование, а для этого необходимо, чтобы в каждой шкатулке была монетка.

Несоответствие утверждения действительности

Теперь рассмотрим само утверждение:

"В соседней шкатулке нет монетки".

Здесь тоже неопределенность - каждая шкатулка граничит с двумя шкатулками, и из сказанного не совсем ясно, относится ли утверждение к любой из соседних шкатулок или ко обеим сразу? Но мы должны исходить из того, что имеем, и детально разобрать высказывание.

Если ни в одной из соседних шкатулок нет монетки, то, очевидно, утверждение истинное, а если в обеих лежит монетка, то утверждение ложное; в этих двух случаях все предельно ясно. Другое дело, когда в одной лежит монетка, а в другой - нет. Тогда утверждение можно считать истинным, поскольку применительно к одной из двух шкатулок, в которой нет монетки, оно истинно. Поэтому утверждение ложным можно считать лишь в том случае, когда в обеих соседних шкатулках лежит монетка.

Таким образом, для того чтобы утверждение было ложным, нужно, чтобы:

условие утверждения выполнялось; в рассматриваемой шкатулке лежала монетка; в двух соседних шкатулках лежала монетка.

А такие, уж слишком жесткие требования, вытекающие из условия задачи, могут быть удовлетворены лишь в том случае, когда во всех шкатулках будет монетка.

Ответ: во всех 2048 шкатулках лежит монетка.

Возьмём одну из шкатулок. Допустим, в ней монета лежит.

Тогда, согласно ложности надписи "Если здесь лежит монетка, то в соседней шкатулке монетки нет", в соседней шкатулке обязательно должна тоже быть монетка. И в соседней с ней тоже и т. д.

Значит, из того что в какой-то шкатулке лежит монета, следует, что и во всех остальных шкатулках тоже лежит по монете. Это не противоречит условию задачи.

Теперь представим что в выбранной шкатулке монеты нет.

Из ложности фразы написанной на шкатулке ничего не следует, так как, во фразе нет указания на то, что должно быть в случае если в шкатулке монеты нет.

Если представить себе вариант когда ни в одной из 2048 шкатулок монет нет, то про каждое из утверждений нельзя сказать верно оно или нет. И нельзя сказать что все фразы ложные, они подпадают под категорию непроверенных. Но раз в условии сказано что они непременно не соответствуют действительности, то будем считать, что случай когда монеток нет, - не актуален.

Ответ: в 2048.