При каких значениях параметра р уравнение (3 х+р+2) ^2 - (3 х-р+1) ^2=12 х+4 имеет: а) отрицательный корень б) корень, принадлежащий промежутку (-0,5; 0,5)

Решим параметрическое уравнение:

(3 х + р + 2) ^2 - (3 х - р + 1) ^2 = 12 х + 4;

9x^2 + p^2 + 4 + 6xp + 12x + 4p - 9x^2 - p^2 - 1 + 6xp - 6x + 2p = 12x + 4;

6xp + 4p - 1 + 6xp - 6x + 2p = 0;

12xp - 6x + 6p - 1 = 0;

6 (2p - 1) x = 1 - 6p.

1) p = 1/2;

6 * 0 * x = 1 - 6 * (1/2);

0 * x = - 2, уравнение не имеет решений.

2) p ≠ 1/2;

x = (1 - 6p) / 6 (2p - 1);

x = - (6p - 1) / 6 (2p - 1).

a) уравнение имеет отрицательный корень, если:

- (6p - 1) / 6 (2p - 1) < 0;

(6p - 1) (2p - 1) > 0;

p1 = 1/6; p2 = 1/2;

p ∈ (-∞; 1/6) ∪ (1/2; ∞).

b) уравнение имеет корень в промежутке (-0,5; 0,5), если:

-0,5 < - (6p - 1) / 6 (2p - 1) < 0,5;

-3 < - (6p - 1) / (2p - 1) < 3;

-3 < (6p - 1) / (2p - 1) < 3;

{ (6p - 1) / (2p - 1) > - 3;

{ (6p - 1) / (2p - 1) < 3;

{ (6p - 1) / (2p - 1) + 3 > 0;

{ (6p - 1) / (2p - 1) - 3 < 0;

{4 (3p - 1) / (2p - 1) > 0;

{2 / (2p - 1) < 0;

{p ∈ (-∞; 1/3) ∪ (1/2; ∞);

{p ∈ (-∞; 1/2);

p ∈ (-∞; 1/3).

Ответ: a) (-∞; 1/6) ∪ (1/2; ∞); b) (-∞; 1/3).