Решите уравнение, используя введение новой переменной: 1 / (x^2-2x+2) + 2 / (x^2-2x+3) = 6 / (x^2-2x+4)

1 / (x^2 - 2x + 2) + 2 / (x^2 - 2x + 3) = 6 / (x^2 - 2x + 4);

1 / (x^2 - 2x + 2) + 2 / (x^2 - 2x + 2 + 1) = 6 / (x^2 - 2x + 2 + 2);

введем новую переменную x^2 - 2x + 2 = y;

1/y + 2 / (y + 1) = 6 / (y + 2) - приведем дроби к общему знаменателю y (y + 1) (y + 2); дополнительный множитель для первой дроби равен (y + 1) (y + 2), для второй дроби - y (y + 2), для третьей - y (y + 1);

((y + 1) (y + 2) + 2y (y + 2)) / ((y (y + 1) (y + 2)) = (6y (y + 1)) / (y (y + 1) (y + 2)) - две дроби с одинаковыми знаменателями равны, если равны числители;

О. Д. З. x ≠ 0, x ≠ - 1, x ≠ - 2;

(y + 1) (y + 2) + 2y (y + 2) = 6y (y + 1);

y^2 + 2y + y + 2 + 2y^2 + 4y - 6y^2 - 6y = 0;

-3y^2 + y + 2 = 0;

3y^2 - y - 2 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-1) ^2 - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25; √D = 5;

x = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (1 + 5) / (2 * 3) = 6/6 = 1;

x2 = (1 - 5) / 6 = - 4/6 = - 2/3.

Выполним обратную подстановку:

1) x^2 - 2x + 2 = 1;

x^2 - 2x + 2 - 1 = 0;

x^2 - 2x + 1 = 0;

D = (-2) ^2 - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0;

x = 2/2 = 1.

2) x^2 - 2x + 2 = -2/3;

x^2 - 2x + 2 + 2/3 = 0;

x^2 - 2x + 2 2/3 = 0;

D = (-2) ^2 - 4 * 1 * 2 2/3 = 4 - 4 * 8/3 = 4 - 32/3 = 4 - 10 2/3 = - 5 1/3 < 0 - если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ. 1.