Вычислите производную тригонометрической функции при х=П/8 f (x) = cos2x (1+sin2x)

Найдём производную функции: f (x) = cos 2x * (1 + sin 2x).

Воспользовавшись формулами:

(sin x) ' = cos x (производная основной элементарной функции).

(cos x) ' = - sin x (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(uv) ' = u'v + uv' (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f (x) ' = (cos 2x * (1 + sin 2x)) ' = (cos 2x) ' * (1 + sin 2x) + cos 2x * (1 + sin 2x) ' = (2x) ' * (cos 2x) ' * (1 + sin 2x) + cos 2x * ((1) ' + (sin 2x) ') = (2x) ' * (cos 2x) ' * (1 + sin 2x) + cos 2x * ((1) ' + (2x) ' * (sin 2x) ') = 2 * ( - sin 2x) * (1 + sin 2x) + cos 2x * (0 + 2 * cos 2x) = - 2sin 2x * (1 + sin 2x) + cos 2x * 2cos 2x = - 2sin 2x * (1 + sin 2x) + 2cos^2 2x.

Вычислим значение производной в точке х0 = π / 8:

f (π / 8) ' = - 2sin (2 * π / 8) * (1 + sin (2 * π / 8)) + 2cos^2 (2 * π / 8) = - 2sin (π / 4) * (1 + sin (π / 4)) + 2cos^2 (π / 4) = - 2 * (√2 / 2) * (1 + (√2 / 2)) + 2 * (√2 / 2) = - √2 * (1 + (√2 / 2)) + √2 = - √2 + 1 + √2 = 1.

Ответ: f (x) ' = - 2sin 2x * (1 + sin 2x) + 2cos^2 2x, a f (π / 8) ' = 1.