найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = sin x + cos x

1. Вычислим производную функции:

y (x) = sinx + cosx; y' (x) = cosx - sinx.

2. В точках экстремума производная функции равна нулю:

y' (x) = 0;

cosx - sinx = 0;

sinx = cosx;

tgx = 1;

x = π/4 + πk, k ∈ Z, точки экстремума.

3. Найдем значения функции в точках экстремума:

a) x1 = π/4 + 2πk, k ∈ Z.

y (x1) = sinx1 + cosx1;

y (x1) = sin (π/4 + 2πk) + cos (π/4 + 2πk);

y (x1) = sin (π/4) + cos (π/4);

y (x1) = √2/2 + √2/2 = √2.

b) x2 = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z.

y (x2) = sinx2 + cosx2;

y (x1) = sin (3π/4 + 2πk) + cos (3π/4 + 2πk);

y (x1) = sin (3π/4) + cos (3π/4);

y (x1) = - √2/2 - √2/2 = - √2.

Ответ: наименьшее и наибольшее значения функции: - √2 и √2.