Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 30, а сумма четвертых степеней ее членов равна 54000. Чему равен первый член прогрессии?

Сначала запишем сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии:

b / (1 - q) = 30.

А теперь четверых степеней:

b^4 / (1 - q^4) = 54000.

Теперь из всего этого выражения выразим b:

b = 30 - 30q.

Подставим это выражение вместо b:

(30^4 (1 - q) ^4) / 1 - q^4 = 54000.

(1 - q) ^4/1 - q^4 = 1/15.

15 (1 - q) ^4 = 1 - q^4.

Теперь нам необходимо раскрыть скобки и преобразовать выражение:

2 (2q - 1) (q - 1) (4q^2 - 9q + 7) = 0.

q = 0,5; 1.

Теперь найдём первый член прогрессии:

b = 30 - 30q.

Подставляем q1:

b = 30 - 30 * 0,5 = 30 - 15 = 15.