Между числами 48 и 1/27 вставьте три числа так, чтобы вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию

Решение

По формуле n - го члена геометрической прогрессии

bn = b1 · q n-1;

Если между двумя числами вставить еще 3 числа, последнее из чисел будет пятым по счету.

b5 = b1 · q 4;

Найдем знаменатель геометрической прогрессии.

q 4 = b5 : b1 = 1/27 : 48 = 1/1296;

q = 1/6.

b2 = b1 · q = 48 * 1/6 = 8;

b3 = b2 · q = 8 * 1/6 = 4/3;

b4 = b3 · q = 4/3 * 1/6 = 2/9;

Ответ. 3 числа равны 8; 4/3; 2/9.

Будем решать данную задачу по следующей схеме:

составим уравнение для нахождения знаменателя геометрической прогрессии, которая должна образоваться после добавления трех чисел; решив полученное уравнение, находим знаменатель данной геометрической прогрессии; зная знаменатель и первый член этой геометрической прогрессии, найдем последовательно второй, третий и четвертый члены прогрессии, которые и будут искомыми числами.

Решение задачи.

Составляем уравнение для нахождения знаменателя геометрической прогрессии

Согласно условию задачи, между числами 48 и 1/27 необходимо вставить три числа так, чтобы вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию bn.

Тогда число 48 будет первым членом b1 этой геометрической прогрессии, а число 1/27 - пятым членом этой прогрессии.

Обозначим знаменатель этой геометрической прогрессии через q.

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии bn = b1 * q^{n - 1}, при n = 5, получаем следующее уравнение:

48 * q^{5 - 1} = 1/27.

Решаем полученное уравнение и находим знаменатель данной геометрической прогрессии

Упрощая левую часть уравнения и разделив обе части уравнения на 48, получаем:

48 * q⁴ = 1/27;

q⁴ = (1/27) / 48;

q⁴ = 1 / (27 * 48);

q⁴ = 1 / (27 * 3 * 16);

q⁴ = 1 / (81 * 16);

q⁴ = 1 / (3⁴ * 2⁴);

q⁴ = 1 / (6⁴);

q⁴ = (1/6) ⁴.

Данное уравнение имеет два корня: q = - 1/6 и q = - 1/6.

Следовательно, знаменатель данной геометрической прогрессии может принимать два значения: q = - 1/6 и q = - 1/6.

Находим искомые числа

Рассмотрим случай q = - 1/6.

Находим второй, третий и четвертые члены геометрической прогрессии:

b2 = b1 * q = 48 * (-1/6) = - 8;

b3 = b2 * q = - 8 * (-1/6) = 8/6;

b4 = b3 * q = (8/6) * (-1/6) = - 8/36 = - 2/9.

Рассмотрим случай q = -1/6.

Находим второй, третий и четвертые члены геометрической прогрессии:

b2 = b1 * q = 48 * (1/6) = 8;

b3 = b2 * q = 8 * (1/6) = 8/6;

b4 = b3 * q = (8/6) * (1/6) = 8/36 = 2/9.

Следовательно, вставить три числа между числами 48 и 1/27 так, чтобы вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию можно двумя способами:

48, - 8, 8/6, - 2/9, 1/27

и

48, 8, 8/6, 2/9, 1/27.