доказать, что если a+b+c=0, то (a^{2}+b^{2}+c^{2}) ^{2}=2 (a^{4}+b^{4}+c^{4}).

По условию задачи имеем, что:

a + b + c = 0.

Воз ведем обе части уравнения в квадрат:

(a + b + c) ^2 = 0,

a^2 + b^2 + c^2 + 2 * a * b + 2 * a * c + 2 * b * c = 0,

a^2 + b^2 + c^2 = - 2 * (a * b + a * c + b * c).

Возведем обе части полученного выражения еще раз в квадрат:

(a^2 + b^2 + c^2) ^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2 * (a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2) =

= 4 * (a * b + a * c + b * c) ^2.

Заметим, что:

(a * b + a * c + b * c) ^2 =

= a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2 + 2 * (a^2 * b * c + a * b^2 * c + a * b * c^2) =

= a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2 + 2 * a * b * c * (a + b + c) =

= a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2.

Тогда:

(a^2 + b^2 + c^2) ^2 2 * (a^4 + b^4 + c^4),

a^4 + b^4 + c^4 + 2 * (a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2) 2 * (a^4 + b^4 + c^4),

2 * (a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2) a^4 + b^4 + c^4.

Но

(a^2 + b^2 + c^2) ^2 = 4 * (a * b + a * c + b * c) ^2,

a^4 + b^4 + c^4 + 2 * (a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2) = 4 * (a * b + a * c + b * c) ^2,

2 * (a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2) + 2 * (a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2) =

= 4 * (a * b + a * c + b * c) ^2,

4 * (a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2) = 4 * (a * b + a * c + b * c) ^2,

a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2 = (a * b + a * c + b * c) ^2 = a^2 * b^2 + a^2 * c^2 + b^2 * c^2, что и требовалось доказать.