8 sin^2 5x + 1/2sin10x+cos^2 5x=4

Воспользовавшись формулой двойного аргумента для синуса и основным тригонометрическим тождеством, получим уравнение:

8sin^2 (5x) + sin (5x) cos (5x) + cos^2 (5x) = 4sin^2 (5x) + 4cos^2 (5x);

4sin^2 (5x) + sin (5x) cos (5x) - 3cos^2 (5x) = 0.

Разделив уравнение на cos^2 (x) и обратившись к определению тангенса, получаем:

4tg^ (5x) + tg (5x) - 3 = 0.

Замена t = tg (5x):

4t^2 + t - 3 = 0;

t12 = (-1 + - √ (1 - 4 * 1 * (-3)) / 2 * 4) = (-1 + - √13) / 8.

Обратная замена:

tg (5x) = (-1 + - √13) / 8;

5x = arctg (-1 + - √13) / 8) + - π * n;

x = 1/5arctg (-1 + - √13) / 8)) + - π * n.