Решить логарифмическое уравнение log7 (x^2-2x-8) = 1

Прежде чем решить логарифмическое уравнение log₇ (x² - 2 * x - 8) = 1, сначала определим область допустимых значений х, для которых данное уравнение имеет смысл. Как известно, если дан логарифм log_ab, то должны выполняться условия: a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Для нашего примера должно выполняться неравенство x² - 2 * x - 8 > 0. Нетрудно убедиться, что это неравенство выполнится, если х ∈ (-∞; - 2) ∪ (4; + ∞). Воспользуемся определением логарифма. Тогда, имеем x² - 2 * x - 8 = 7¹ или x² - 2 * x - 8 = 7, откуда x² - 2 * x - 15 = 0. Это уравнение является квадратным уравнением. Найдём его дискриминант D = (-2) ² - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64 > 0. Поскольку дискриминант положительный, то это уравнение имеет два различных корня. Вычислим их: х₁ = (2 - √ (64)) / 2 = (2 - 8) / 2 = - 3 и х₂ = (2 + √ (64)) / 2 = (2 + 8) / 2 = 5. Поскольку х = - 3 ∈ (-∞; - 2) и х = 5 ∈ (4; + ∞), то оба найденных корня являются решениями данного логарифмического уравнения.

Ответ: х = - 3; х = 5.