Усечённая пирамида, h=9 см, S1-S2=6 см, V=42cм. Найти S1, S2

При данных высоте h = 9 см, объёме V = 42 cм³ и разности S₁ - S₂ = 6 см², где S₁ и S₂ - площади верхнего и нижнего оснований усечённой пирамиды, требуется найти S₁ и S₂. Как известно, для усечённой пирамиды справедлива формула: V = ⅓ * h * (S₁ + √ (S₁ * S₂) + S₂). Имеем (опустим единицы измерений) : 42 = ⅓ * 9 * (S₁ + √ (S₁ * S₂) + S₂). Учитывая, что S₁ - S₂ = 6, найдём S₁ = S₂ + 6. Подставим это в последнее равенство п. 2. Тогда, получим: 42 = 3 * (S₂ + 6 + √ ((S₂ + 6) * S₂) + S₂). Тогда 14 = 2 * S₂ + 6 + √ ((S₂ + 6) * S₂), откуда 8 - 2 * S₂ = √ ((S₂ + 6) * S₂). Для сокращения записи, введём новое обозначение S₂ = х. Тогда последнее равенство примет вид: 8 - 2 * х = √ ((х + 6) * х). Возводим в квадрат обе части этого равенства: (8 - 2 * х) ² = (х + 6) * х. Раскроем скобки в обеих частях равенства: 64 - 32 * х + 4 * х² = х² + 6 * х или 3 * х² - 38 * х + 64 = 0. Решим последнее квадратное уравнение. Оно имеет два различных корня, так как его дискриминант D = 38² - 4 * 3 * 64 = 676 > 0. Вычислим их: х₁ = 32/3 и х₂ = 2. Используя свойство арифметического квадратного корня, последнее равенство п. 3 позволяет утверждать, что 8 - 2 * S₂ ≥ 0. Проверим каждое решение: при а) S₂ = 32/3, имеем 8 - 2 * S₂ = 8 - 2 * (32/3) = (24 - 64) / 3 = - 40/3 < 0, следовательно, S₂ = 32/3 - оказалось побочным корнем; при б) S₂ = 2, имеем 8 - 2 * S₂ = 8 - 2 * 2 = 4 ≥ 0. Это решение подходит. Вычислим S₁ = 2 + 6 = 8. Итак, решением данной задачи является: S₁ = 8 см² и S₂ = 2 см².

Ответ: S₁ = 8 см² и S₂ = 2 см².