Найдите натуральные значения n при которых значение выражения квадратный корень из n•n+39 является двухзначным числом

1. Ищем такое n, чтобы n^2 + 39 был квадратом двузначного числа. Поскольку 39 содержит простые множители 3 и 13 в первой степени, то n не должно делиться на них:

1) n = 7; 7^2 + 39 = 49 + 39 = 88 < 10^2; 2) n = 8; 8^2 + 39 = 64 + 39 = 103 - не квадрат; 3) n = 10; 10^2 + 39 = 100 + 39 = 139 - не квадрат; 4) n = 11; 11^2 + 39 = 121 + 39 = 160 - не квадрат; 5) n = 14; 14^2 + 39 = 196 + 39 = 235 - не квадрат; 6) n = 16; 16^2 + 39 = 256 + 39 = 295 - не квадрат; 7) n = 17; 17^2 + 39 = 289 + 39 = 328 - не квадрат; 8) n = 19; 19^2 + 39 = 361 + 39 = 400 = 20^2.

2. При n ≥ 20 имеем:

n^2 + 39 ≤ n^2 + 39 + 2 (n - 20) = n^2 + 2n - 1 < n^2 + 2n + 1 = (n + 1) ^2; n^2 < n^2 + 39 < (n + 1) ^2.

Других решений нет.

Ответ: 19.