Ctg (3x/2+5pi/4) * (1-sin (3x-pi)) упроститее

В задании дано тригонометрическое выражение ctg (3 * x / 2 + 5 * π/4) * (1 - sin (3 * x - π)), которого обозначим через Т. По требованию задания, упростим данное выражение. Прежде всего, предположим, что данное выражение имеет смысл, точнее, рассмотрим те значения х, для которых котангенс не обращается в бесконечность. Сначала, используя формулу приведения ctg (π + α) = ctgα преобразуем первый множитель произведения Т (которого обозначим через А), следующим образом: А = ctg (3 * x / 2 + 5 * π/4) = ctg (π + 3 * x / 2 + π/4) = ctg (3 * x / 2 + π/4). Учитывая табличное значение котангенса ctg (π/4) = 1, к последнему выражению применим формулу ctg (α + β) = (ctgα * ctgβ - 1) / (ctgα + ctgβ) (котангенс суммы). Тогда, А = (ctg (3 * x / 2) * ctg (π/4) - 1) / (ctg (3 * x / 2) + ctg (π/4)) = (ctg (3 * x / 2) - 1) / (ctg (3 * x / 2) + 1). Теперь, воспользуемся формулой ctgα = cosα / sinα. Следовательно, получим А = (cos (3 * x / 2) / sin (3 * x / 2) - 1) / (cos (3 * x / 2) / sin (3 * x / 2) + 1) = (((cos (3 * x / 2) - sin (3 * x / 2)) / sin (3 * x / 2))) / (((cos (3 * x / 2) + sin (3 * x / 2)) / sin (3 * x / 2))) = ((cos (3 * x / 2) - sin (3 * x / 2)) / ((cos (3 * x / 2) + sin (3 * x / 2)). Далее, умножим числитель и знаменатель полученной дроби на cos (3 * x / 2) + sin (3 * x / 2) и после упрощений воспользуемся необходимыми формулами: А = (((cos (3 * x / 2) + sin (3 * x / 2)) * (cos (3 * x / 2) - sin (3 * x / 2))) / ((cos (3 * x / 2) + sin (3 * x / 2)) ² = (cos² (3 * x / 2) - sin² (3 * x / 2)) / (cos² (3 * x / 2) + 2 * sin (3 * x / 2) * cos (3 * x / 2) + sin² (3 * x / 2)) = cos (2 * (3 * x / 2)) / (1 + sin (2 * (3 * x / 2))) / = cos (3 * x) / (1 + sin (3 * x)). Итак, А = cos (3 * x) / (1 + sin (3 * x)). Используя нечётность синус функции и формулу приведения sin (π - α) = sinα, второй множитель произведения Т, преобразуем следующим образом: 1 - sin (3 * x - π) = 1 - (-sin (π - 3 * x)) = 1 + sin (3 * x). Подставим найденные выражения для числителя и знаменателя в данное выражение: Т = (cos (3 * x) / (1 + sin (3 * x))) * (1 + sin (3 * x)) = (cos (3 * x) * (1 + sin (3 * x))) / (1 + sin (3 * x)). Используя предположение из п. 1, сократим последнюю дробь на 1 + sin (3 * x). Тогда, Т = cos (3 * x).

Ответ: Если данное выражение имеет смысл, то оно равно cos (3 * x).