Доказать, что уравнение имеет только одно решениеx^3 + 3x - 6 = 0

1. Найдем производную функции:

x^3 + 3x - 6 = 0; f (x) = x^3 + 3x - 6; f' (x) = 3x^2 + 3 = 3 (x^2 + 1).

2. Промежутки монотонности. Поскольку производная везде положительна:

x^2 ≥ 0; x^2 + 1 > 0; 3 (x^2 + 1) > 0,

то функция возрастает на всем множестве действительных чисел.

3. При стремлении аргумента к минус и плюс бесконечности, функция также стремится к минус и плюс бесконечности, следовательно, график функции только в одной точке может пересекать ось абсцисс. А это значит, что уравнение имеет единственное решение.