Найдите критические точки функции f (x) = x^3/9+4/x^3. Какие из этих точек будут точками максимума, а какие-минимума?

1. Область определения функции:

f (x) = x^3/9 + 4/x^3;

x^3 ≠ 0;

x ≠ 0;

x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; ∞).

2. Найдем критические точки функции, вычислив производную:

f (x) = x^3/9 + 4/x^3;

f (x) = 1/9 * x^3 + 4 * x^ (-3);

f' (x) = 1/9 * 3x^2 + 4 * (-3) x^ (-4);

f' (x) = 1/3 * x^2 - 12/x^4;

1/3 * x^2 - 12/x^4 = 0;

x^6 - 36 = 0;

(x^3 + 6) (x^3 - 6) = 0;

[x^3 + 6 = 0;

[x^3 - 6 = 0;

[x^3 = - 6;

[x^3 = 6;

x = ±6^ (-3) - критические точки.

3. Промежутки монотонности функции:

a) x ∈ (-∞; - 6^ (-3)), y' > 0 - функция возрастает; b) x ∈ (-6^ (-3); 0), y < 0 - функция убывает; c) x ∈ (0; 6^ (-3)), y <0 - функция убывает; d) x ∈ (6^ (-3); ∞), y'> 0 - функция возрастает. x = - 6^ (-3) - точка максимума; x = 6^ (-3) - точка минимума.

Ответ. Критические точки функции:

-6^ (-3) - точка максимума; 6^ (-3) - точка минимума.