Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды равна 18 дм^2, вычислите объем этой пирамиды, если высота боковой грани 4 дм.

Найдем площадь одной грани. Т. к. боковая поверхность состоит из трех равных граней, то площадь одной из них найдем путем деления размера боковой поверхности на количество частей:

18 / 3 = 6 (дм^2) - площадь одной грани.

Вычислим сторону основания, используя информацию о высоте грани:

6*2/4 = 3 (дм) - сторона основания.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, все его углы по 60 градусов. Найдем медиану основания:

sin60° * 3 = √ (3/2) * 3 = 2,6 (дм).

Медианы пирамиды делятся пополам, т. к. через точку их пересечения проходит высота.

Зная высоту боковой грани и медиану, вычислим высоту пирамиды:

√ (4^2 - (2,6/3) ^2) = √ (16 - 0,75) = √ (15,25) = 3,9 (дм) - высота пирамиды.

Объем пирамиды находится по формуле:

V = (h * a^2) / 4 * √ (3), где h - высота пирамиды, a - сторона основания.

Подставим известные нам величины в формулу:

V = (3,9 * 3^2) / 4 * √ (3) = 5.1 (дм^3) - объём пирамиды.