В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 15√3 см, а боковое ребро - 17 см. Вычислить площадь сечения, проведённого через боковое ребро и высоту пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде боковые грани - равнобедренные треугольники.

В даном случае, основа - равносторонний треугольник.

Все это означает, что плоскость, которая будет проходить через боковое ребро и высоту пирамиды, пройдет через высоту грани (равнобедренного треугольника), которая противоположна боковому ребру.

В результате пересечения получится треугольник, стороны которого равны: длинна ребра пирамиды, высота равностороннего треугольника основы, высота боковой грани.

Для вычисления площади сечения, найдем высоту основы и боковой грани.

Поскольку основа - равносторонний треугольник, а боковая грань - равнобедренный, высота будет и медианой (будет делить основу треугольника пополам).

Отсюда, используя теорему Пифагора, получаем:

1) Обозначим высоту основы через а, тогда а^2 = (15√3) ^2 - (15√3/2) ^2 = 225*3 - 225*3/4 = 675 - 168.75 = 506,25 = 22,5^2.

Отсюда а = 22,5.

2) Обозначим высоту боковой грани через b, тогда b^2 = 17^2 - (15√3/2) ^2 = 289 - 168.75 = 120,25

Отсюда b = √120,25 = 5√4,81.

Для вычисления площади сечения воспользуемся формулой Герона:

S = √p (p-a) (p-b) (p-c), где p = половина периметра, а, b, c - стороны треугольника.

p = (17 + 22,5 + 5√4,81) / 2 ~ (39,5 + 11) / 2 = 50,5.

Отсюда S = √50,5 (50,5 - 22,5) (50,5 - 5√4,81) (50,5 - 17) ~ √50,5*28*39,5*33,5 = √1871075,5 ~ 1367,873 см^2.

Ответ: площадь сечения приблизительно равна 1367,873 см^2 (с точностью до тысячных).