Докажите, что при любом натуральном n: а) если n^2-1 четно, то n^2-1 делится на 8; б) если n^3-4n четно, то n^3-4n делится на 48

а) Рассмотрим выражение n^2-1 при n^2 - 1 = 2 * к, где к - произвольное число.

Представим: n^2-1 = (n + 1) * (n - 1). Это произведение или двух чётных, или двух нечётных чисел, при том, что оно чётно, не чётного числа там быть не может, так как разница (n + 1) - (n - 1) = 2. То есть одно число кратно 2, другое 4. А их произведение кратно 8.

б) Представим: n^3 - 4 * n = n * (n^2 - 4) = n * (n + 2) * (n - 2). Получились три числа, все они чётные (по условию), и это чётные числа через 2, одно кратно 2, другое, 4, и третье - 6, а вместе - кратны 2 * 3 * 4, но кратное 3, кратно и 6, и получим: 2 * 4 * 6 = 48.