Рабочий обслуживает 12 станков одного типа. Вероятность того, что станок требует внимания рабочего в течение часа, равна 1/3. Найдите вероятность того, что в течение часа 4 станка потребуют внимания рабочего.

1. Пусть i-й станок в течение часа может принимать два состояния:

ai = 1 - означает событие Ai = {i-й станок требует внимания рабочего}; ai = 0 - означает событие Bi = {i-й станок не требует внимания рабочего}.

Тогда для вероятностей этих событий получим:

P (Ai) = 1/3; P (Bi) = 1 - P (Ai) = 1 - 1/3 = 2/3.

2. Рассмотрим событие:

X = {В течение часа ровно 4 станка потребуют внимания рабочего}.

Данное событие означает, что из 12 значений ai 4 имеют значение 1, безразлично в какой последовательности, т. е. из 12 станков наугад берем 4. А это есть сочетание из 12 по 4:

С (12, 4) = 12! / (4! * 8!) = 12 * 11 * 10 * 9 / (1 * 2 * 3 * 4) = 9 * 5 * 11 = 495.

Вероятность каждого такого события:

P1 = P (Ai) ^4 * P (Bi) ^8 = (1/3) ^4 * (2/3) ^8 = 2^8/3^12.

А вероятность события X:

P (x) = С (12, 4) * P1 = 9 * 5 * 11 * 2^8/3^12 = 55 * 2^8/3^10 = 14080/59049 ≈ 0,24 = 24 %.